Para discutir este tema, haremos un análisis de todas las partes que lo componen para no dejar lugar a dudas. De esta forma, hablaremos de lo siguiente, en orden:
- Símbolos para las operaciones matemáticas básicas.
- Orden de las operaciones matemáticas.
- Solución.
- Errores comunes.
- Multiplicación implícita (o por yuxtaposición).
- Problemas con algunas calculadoras.
- Comentarios adicionales.$$ \require{color} $$
1. Símbolos para las operaciones matemáticas básicas.
\begin{align*}
\textrm{Suma}&\quad+ \\
\textrm{Resta}&\quad- \\
\textrm{Multiplicación}&\quad \times \ \cdot \ () \\
\textrm{División}&\quad \div \ / \ :
\end{align*}
Es importante destacar que los tres símbolos mostrados $\times$, $\cdot$ y $()$ para la multiplicación, y $\div$, $/$ y $:$ para la división, son completamente intercambiables en sus respectivos casos, es decir que los tres representan exactamente lo mismo.
De esta manera, todas las expresiones siguientes arrojan el mismo resultado:
\begin{align*}
3\times5\div7 &= 3(5)\div7 \\
3(5)\div7 &= 3\cdot5 / 7 \\
3\cdot5 / 7 &= (3)\cdot5 : 7 \\
(3)\cdot5 : 7 &= (3)\times 5 / 7
\end{align*}
2. Orden de las operaciones matemáticas.
Sin entrar mucho en detalle, el orden de las operaciones matemáticas se resume de la siguiente manera:
1. Paréntesis. Realizar las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, ya sean paréntesis $(\ )$, corchetes $[\ ]$ o llaves $\{\ \}$.
Nota: una vez que las operaciones dentro de los paréntesis se han llevado a su mínima expresión, si ya no son necesarios para agrupar alguna operación matemática pendiente dentro de ellos, se eliminan estos parentesis de la expresión.
4. Errores comunes.
1. Pensar que la multiplicación tiene precedencia sobre la división. Desde el punto de vista matemático, la división puede ser expresada como una multiplicación calculando el inverso multiplicativo del divisor en cuestión, por ejemplo:
$$a\div b = a \times \frac{1}{b}$$
2. Pensar que los paréntesis cambian la precedencia de las operaciones de los términos que no están dentro de ellos, por ejemplo:
$$6\div2(1+2)=6\div2\times3\neq6\div(2\times3)$$
En los primeros dos casos el resultado es $9$, recordando que $2(3)=2\times3$ debido a que representan exactamente lo mismo, y en el tercer caso el resultado es $1$, ya que al agrupar $(2\times3)$ estamos modificando la secuencia de las operaciones anterior, indicando que queremos que se desarrolle la multiplicación antes que la división.
5. Multiplicación implícita (o por yuxtaposición).
Cuando se usa el símbolo $/$ en expresiones como $1/2x$ puede crearse ambigüedad, si se reescribe la expresión como $1\div2x$ y se interpreta que el símbolo de división $\div$ indica multiplicación por el recíproco, esto se convierte en:
$$1\div2\times x=1\times \cfrac{1}{2} \times x=\cfrac{1}{2} x$$
Con esta interpretación, $1/2x$ es igual a $(1/2)x$. Sin embargo, en cierta literatura académica, la multiplicación por yuxtaposición (o multiplicación implícita) tiene prioridad más alta que la división, de manera que $1/2x$ es igual a $1/(2x)$, lo cual rompe las reglas anteriormente mencionadas acerca del orden o jerarquía de las operaciones. Esto no es común y, a menos que se indique, no se emplea este formato.
Nota: Para evitar ambigüedades, se recomienda no emplear la multiplicación por yuxtaposición y, en caso de hacerlo, dejar claro la notación que se está considerando en el escrito en cuestión, ya que cualquier lector podría interpretar de manera distinta un documento que no haga explícito que se ha usado este criterio.
6. Problemas con algunas calculadoras.
Una tendencia común es verificar los resultados de las operaciones de las que no estamos seguros mediante el uso de las calculadoras, esto es una respuesta natural, ya que lo más normal sería que las calculadoras no cometieran errores.
La realidad es que, distitnas calculadoras, tienen algoritmos diferentes para realizar sus cálculos, y al parecer, hay diversos resultados en cuanto a la jerarquía de las operaciones. Veamos algunos ejemplos.
Específicamente, Matlab no permite realizar multiplicaciones implícitas (sin el uso del operador de multiplicación *), de manera que si queremos calcular la multiplicación $2\times3$, es necesario que lo escribamos como $2*3$, $(2)*3$, $2*(3)$, etc. ya que, al defininirlo como $2(3)$ o $(2)(3)$, Matlab marcará esto como un error de sintaxis.
Recomendación: En caso de no estar completamente seguro del método que usa la calculadora que estás empleando, utiliza los paréntesis de manera que realice justamente lo que te interesa que haga y evites obtener resultados erróneos.
7. Comentarios adicionales.
A pesar de que la multiplicación implícita es usada, puede ocasionar ambigüedades, sobre todo cuando la yuxtaposición de términos pudiera confundirse con el nombre de alguna variable existente. Para evitar esto, se recomienda seguir las reglas determinadas por la jerarquía de las operaciones matemáticas, esto evitará confusiones para uno mismo y para los demás.
Se recomienda usar tantos paréntesis (también corchetes y llaves) como sea necesario, pero no más de los necesarios, para hacer que una operación matemática no sea ambigua.
Como nota final, me gustaría mencionar que tanto la jerarquía de las operaciones, como la yuxtaposición, son sólo convenciones y no son reglas que se tengan que seguir, es por esto que cada persona que tenga un resultado, debe aclarar cuál convención está utilizando, recordemos que, según la yuxtaposición $2(3)$ es un sólo término que no se debe separar, pero otros podrían argumentar que $2(3)$ se puede expresar como $2\times3$.
En resumen, si uno es quien plantea una ecuación, debe ser claro en cuanto a la expresión para evitar confundir a los demás, pero si la ecuación es planteada por alguien más y se desea resolverla, es necesario establecer el criterio de solución en caso de que existan ambigüedades.
\textrm{Suma}&\quad+ \\
\textrm{Resta}&\quad- \\
\textrm{Multiplicación}&\quad \times \ \cdot \ () \\
\textrm{División}&\quad \div \ / \ :
\end{align*}
Es importante destacar que los tres símbolos mostrados $\times$, $\cdot$ y $()$ para la multiplicación, y $\div$, $/$ y $:$ para la división, son completamente intercambiables en sus respectivos casos, es decir que los tres representan exactamente lo mismo.
De esta manera, todas las expresiones siguientes arrojan el mismo resultado:
\begin{align*}
3\times5\div7 &= 3(5)\div7 \\
3(5)\div7 &= 3\cdot5 / 7 \\
3\cdot5 / 7 &= (3)\cdot5 : 7 \\
(3)\cdot5 : 7 &= (3)\times 5 / 7
\end{align*}
2. Orden de las operaciones matemáticas.
Sin entrar mucho en detalle, el orden de las operaciones matemáticas se resume de la siguiente manera:
1. Paréntesis. Realizar las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, ya sean paréntesis $(\ )$, corchetes $[\ ]$ o llaves $\{\ \}$.
Nota: una vez que las operaciones dentro de los paréntesis se han llevado a su mínima expresión, si ya no son necesarios para agrupar alguna operación matemática pendiente dentro de ellos, se eliminan estos parentesis de la expresión.
\begin{align*}
6 \times \colorbox{yellow}{$(5+3)$}&= 6 \times \colorbox{yellow}{$8$} = \textcolor{blue}{48} \\
6 \times \colorbox{white}{$(5+3)$}&= \textcolor{red}{30} + 3 =33 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
2. Exponentes. (Potencias o raíces). Ejecutar exponentes antes de realizar multiplicaciones/divisiones y sumas/restas.
\begin{align*}
5 \times \colorbox{yellow}{$2^2$}&= 5 \times \colorbox{yellow}{$4$} = \textcolor{blue}{20} \\
5 \times \colorbox{white}{$2^2$}&= \textcolor{red}{10^2} = 100 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
3. Multiplicaciones y Divisiones. Ejecutar multiplicaciones/divisiones antes de sumas/restas.
\begin{align*}
2 + \colorbox{yellow}{$5 \times 3$}&= 2 + \colorbox{yellow}{$15$} = \textcolor{blue}{17} \\
2 + \colorbox{white}{$5 \times 3$}&= \textcolor{red}{7} \times 3 = 21 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
4. Sumas y Restas. Ejecutar sumas/restas.
Las sumas y restas tienen la misma jerarquía, así como las multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía.
En caso de que haya más de una operación de multiplicación y/o división seguidas, por ejemplo $a \times b \div c \ $, se realizan las operaciones de izquierda a derecha conforme van apareciendo los términos. Por ejemplo:
\begin{align*}
\colorbox{yellow}{$30 \div 5$} \times 3&= \colorbox{yellow}{$6$} \times 3 = \textcolor{blue}{18} \\
\colorbox{white}{$30 \div 5$} \times 3&= \colorbox{white}{$30$} \div \textcolor{red}{15} =2 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
Nota: Los símbolos de agrupación son útiles para modificar el orden (o jerarquía) de las operaciones a nuestra necesidad o antojo. Hay que tener cuidado al incluirlos, para que no exista ambigüedad en lo que se quiere expresar.
3. Solución.
Se quiere calcular el resultado de $6\div2(1+2)$.
Para calcularlo, es necesario identificar la forma que tiene el planteamiento. Si observamos cuidadosamente veremos que tiene la forma
$$a\div b \times c$$
donde
\begin{align*}
a&= 6 \\
b&= 2 \\
c&=1+2
\end{align*}
ya que lo que está dentro de los paréntesis se convertirá en un solo término al realizar las operaciones indicadas, éstos desaparecen ya que no tienen nada más que agrupar, de esta forma se tiene:
$$6\div 2 \times 3$$
Como hay una operación de multiplicación y una de división seguidas, se procede de izquierda a derecha, conforme van apareciendo los términos y operaciones:
\begin{align*}
\colorbox{yellow}{$6\div 2$} \times 3 = \colorbox{yellow}{3} \times 3 = 9
\end{align*}
6 \times \colorbox{yellow}{$(5+3)$}&= 6 \times \colorbox{yellow}{$8$} = \textcolor{blue}{48} \\
6 \times \colorbox{white}{$(5+3)$}&= \textcolor{red}{30} + 3 =33 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
2. Exponentes. (Potencias o raíces). Ejecutar exponentes antes de realizar multiplicaciones/divisiones y sumas/restas.
\begin{align*}
5 \times \colorbox{yellow}{$2^2$}&= 5 \times \colorbox{yellow}{$4$} = \textcolor{blue}{20} \\
5 \times \colorbox{white}{$2^2$}&= \textcolor{red}{10^2} = 100 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
3. Multiplicaciones y Divisiones. Ejecutar multiplicaciones/divisiones antes de sumas/restas.
\begin{align*}
2 + \colorbox{yellow}{$5 \times 3$}&= 2 + \colorbox{yellow}{$15$} = \textcolor{blue}{17} \\
2 + \colorbox{white}{$5 \times 3$}&= \textcolor{red}{7} \times 3 = 21 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
4. Sumas y Restas. Ejecutar sumas/restas.
Las sumas y restas tienen la misma jerarquía, así como las multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía.
En caso de que haya más de una operación de multiplicación y/o división seguidas, por ejemplo $a \times b \div c \ $, se realizan las operaciones de izquierda a derecha conforme van apareciendo los términos. Por ejemplo:
\begin{align*}
\colorbox{yellow}{$30 \div 5$} \times 3&= \colorbox{yellow}{$6$} \times 3 = \textcolor{blue}{18} \\
\colorbox{white}{$30 \div 5$} \times 3&= \colorbox{white}{$30$} \div \textcolor{red}{15} =2 \quad \textrm{$(error)$}
\end{align*}
Nota: Los símbolos de agrupación son útiles para modificar el orden (o jerarquía) de las operaciones a nuestra necesidad o antojo. Hay que tener cuidado al incluirlos, para que no exista ambigüedad en lo que se quiere expresar.
3. Solución.
Se quiere calcular el resultado de $6\div2(1+2)$.
Para calcularlo, es necesario identificar la forma que tiene el planteamiento. Si observamos cuidadosamente veremos que tiene la forma
$$a\div b \times c$$
donde
\begin{align*}
a&= 6 \\
b&= 2 \\
c&=1+2
\end{align*}
ya que lo que está dentro de los paréntesis se convertirá en un solo término al realizar las operaciones indicadas, éstos desaparecen ya que no tienen nada más que agrupar, de esta forma se tiene:
$$6\div 2 \times 3$$
Como hay una operación de multiplicación y una de división seguidas, se procede de izquierda a derecha, conforme van apareciendo los términos y operaciones:
\begin{align*}
\colorbox{yellow}{$6\div 2$} \times 3 = \colorbox{yellow}{3} \times 3 = 9
\end{align*}
4. Errores comunes.
1. Pensar que la multiplicación tiene precedencia sobre la división. Desde el punto de vista matemático, la división puede ser expresada como una multiplicación calculando el inverso multiplicativo del divisor en cuestión, por ejemplo:
$$a\div b = a \times \frac{1}{b}$$
2. Pensar que los paréntesis cambian la precedencia de las operaciones de los términos que no están dentro de ellos, por ejemplo:
$$6\div2(1+2)=6\div2\times3\neq6\div(2\times3)$$
En los primeros dos casos el resultado es $9$, recordando que $2(3)=2\times3$ debido a que representan exactamente lo mismo, y en el tercer caso el resultado es $1$, ya que al agrupar $(2\times3)$ estamos modificando la secuencia de las operaciones anterior, indicando que queremos que se desarrolle la multiplicación antes que la división.
5. Multiplicación implícita (o por yuxtaposición).
Cuando se usa el símbolo $/$ en expresiones como $1/2x$ puede crearse ambigüedad, si se reescribe la expresión como $1\div2x$ y se interpreta que el símbolo de división $\div$ indica multiplicación por el recíproco, esto se convierte en:
$$1\div2\times x=1\times \cfrac{1}{2} \times x=\cfrac{1}{2} x$$
Con esta interpretación, $1/2x$ es igual a $(1/2)x$. Sin embargo, en cierta literatura académica, la multiplicación por yuxtaposición (o multiplicación implícita) tiene prioridad más alta que la división, de manera que $1/2x$ es igual a $1/(2x)$, lo cual rompe las reglas anteriormente mencionadas acerca del orden o jerarquía de las operaciones. Esto no es común y, a menos que se indique, no se emplea este formato.
Nota: Para evitar ambigüedades, se recomienda no emplear la multiplicación por yuxtaposición y, en caso de hacerlo, dejar claro la notación que se está considerando en el escrito en cuestión, ya que cualquier lector podría interpretar de manera distinta un documento que no haga explícito que se ha usado este criterio.
6. Problemas con algunas calculadoras.
Una tendencia común es verificar los resultados de las operaciones de las que no estamos seguros mediante el uso de las calculadoras, esto es una respuesta natural, ya que lo más normal sería que las calculadoras no cometieran errores.
La realidad es que, distitnas calculadoras, tienen algoritmos diferentes para realizar sus cálculos, y al parecer, hay diversos resultados en cuanto a la jerarquía de las operaciones. Veamos algunos ejemplos.
De manera personal, tendría más confianza en los resultados obtenidos con calculadoras científicas más modernas y avanzandas, incluso confiaría aún más en software especializado, tal como Mathematica, WolframAlpha, Scilab, Matlab, etc.
Específicamente, Matlab no permite realizar multiplicaciones implícitas (sin el uso del operador de multiplicación *), de manera que si queremos calcular la multiplicación $2\times3$, es necesario que lo escribamos como $2*3$, $(2)*3$, $2*(3)$, etc. ya que, al defininirlo como $2(3)$ o $(2)(3)$, Matlab marcará esto como un error de sintaxis.
Recomendación: En caso de no estar completamente seguro del método que usa la calculadora que estás empleando, utiliza los paréntesis de manera que realice justamente lo que te interesa que haga y evites obtener resultados erróneos.
7. Comentarios adicionales.
A pesar de que la multiplicación implícita es usada, puede ocasionar ambigüedades, sobre todo cuando la yuxtaposición de términos pudiera confundirse con el nombre de alguna variable existente. Para evitar esto, se recomienda seguir las reglas determinadas por la jerarquía de las operaciones matemáticas, esto evitará confusiones para uno mismo y para los demás.
Se recomienda usar tantos paréntesis (también corchetes y llaves) como sea necesario, pero no más de los necesarios, para hacer que una operación matemática no sea ambigua.
Como nota final, me gustaría mencionar que tanto la jerarquía de las operaciones, como la yuxtaposición, son sólo convenciones y no son reglas que se tengan que seguir, es por esto que cada persona que tenga un resultado, debe aclarar cuál convención está utilizando, recordemos que, según la yuxtaposición $2(3)$ es un sólo término que no se debe separar, pero otros podrían argumentar que $2(3)$ se puede expresar como $2\times3$.
En resumen, si uno es quien plantea una ecuación, debe ser claro en cuanto a la expresión para evitar confundir a los demás, pero si la ecuación es planteada por alguien más y se desea resolverla, es necesario establecer el criterio de solución en caso de que existan ambigüedades.
