Siempre que escucho la frase "belleza matemática", inmediatamente pienso en los fractales. Uno de mis favoritos, desde hace un tiempo, es el conjunto de Mandelbrot.
Toma un número complejo z = x+yi. Si elevamos este número al cuadrado (x+yi)² = (x+yi) + 2xyi, y luego elevamos este resultado de nuevo al cuadrado, y así hasta el infinito, puede ocurrir uno de 3 casos:
- Si la magnitud del número complejo original es menor que 1, el resultado tenderá asintóticamente a cero.
- Si la magnitud del número complejo original es mayor que 1, el resultado tenderá al infinito.
- Si la magnitud del número complejo original es igual a 1, el resultado permanecerá igual, o se moverá alrededor de otros puntos donde la magnitud sea también 1.
Esto puede usarse para realizar unas gráficas visualmente muy interesantes. El conjunto de todos los puntos para los cuales la función no diverge al infinito es denominado conjunto S, y su forma es la del círculo unitario.
El conjunto de Mandelbrot añade una variación simple a la función; en lugar de sólo elevar al cuadrado de manera iterativa, en cada paso se suma otro número complejo c. El conjunto de todos los valores para los cuales la función no diverge es el conjunto M.
Suena fácil, y lo es, pero la forma que se obtiene es muy compleja, como se observa en la siguiente imagen:
La forma del conjunto M, de hecho, tiene detalles infinitos dados los coeficientes reales de los números complejos. En la imagen anterior, como en la mayoría de las imágenes de este conjunto, se usan colores de acuerdo al número de iteraciones de elevar al cuadrado y sumar el número complejo c, necesarias para determinar cuándo el conjunto diverge del punto y se escogen gradientes de otro color (azul oscuro a blanco, en la imagen anterior).
Si realizamos un acercamiento a cualquier punto de los bordes del conjunto, el conjunto M nos muestra su verdadera belleza:
Si realizamos un acercamiento a cualquier punto de los bordes del conjunto, el conjunto M nos muestra su verdadera belleza:
"¡Hermoso!" dirán muchos de ustedes, pero también se preguntarán "¿Y para qué sirven?"
Bueno...
Bueno...
- Nota la similitud en las imágenes, en algunas puedes ver que el conjunto completo parece repetirse en los bordes, donde se supondría que hay un fin, pero esto se repite conforme nos acercamos más y más a estos bordes. La razón matemática detrás de esto es el foco de estudio para algoritmos de compresión de datos.
- Esta similitud del conjunto consigo mismo, se usa también por astrofísicos para explicar aspectos de nuestro universo entero, tales como las galaxias que tienden a formar patrones muy similares, con formas rotacionalmente simétricas.
- Los puntos cercanos, que no pertenecen al conjunto M, no divergen linealmente alejándose del borde más cercano. La ruta de estos puntos, desde su inicio, a través del plano complejo en su camino al infinito, en muchos casos son tan interesantes como el conjunto M mismo. El rastreo de estos caminos ha sido utilizado para simular la luz en estructuras reflectivas/refrativas complejas, tales como los caparazones de algunos insectos.
- Algunos de los puntos del conjunto M (y los conjuntos de Julia relacionados) han sido empleados como mapas tipológicos para generar terrenos artificiales para películas y videojuegos.
- Otro tipo de fractal, la curva de Hilbert, se usa en las antenas de teléfonos celulares y otros dispositivos (permitiendo acomodar la longitud total deseada de la antena, en una región lo más pequeña que sea posible).
¿Y ahora qué piensas de los Fractales?
Interesantes, ¿no es así?
Si te interesa el tema, te invito a que leas más sobre él y nos compartas tu opinión.
Saludos,
Carlos
