Cálculo de la raíz cuadrada manualmente

Para calcular la raíz cuadrada de un número, lo sometemos a una operación llamada radicación, que tiene los siguientes elementos:

1.     Radical, que es el símbolo que indica la operación de raíz cuadrada, en este caso.
2.     Radicando, es el número al que se le calculará la raíz cuadrada.
3.     Renglón de Raíz Cuadrada, es donde se obtendrá el resultado.
4.     Renglones Auxiliares, que sirven como pasos intermedios para resolver la raíz cuadrada.
5.     Residuo, es el resto que queda al resolver la raíz cuadrada.

Una vez identificados estos elementos, se procede de la siguiente forma:

Paso #1

Se separa el número del radicado (en el ejemplo, 5836.3690) en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hubiera) hacia la derecha y hacia la izquierda.

• Si del lado de los decimales (a la derecha del punto, es decir 369) no hay un número par de cifras, es evidente que quedaría una suelta: en ese caso, se le añadiría un cero.
• Si del lado de los enteros (a la izquierda del punto, es decir, 5836) quedara un número suelto, se quedaría así. 

En la imagen de la derecha podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras; después del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no puede haber un grupo de una cifra (en el ejemplo, esta separación quedaría así: 58/36.36/90).


Paso #2



Se busca un número que multiplicado por sí mismo (es decir, elevado al cuadrado) dé como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el ejemplo, 58).

• El resultado no puede ser mayor que 58.
• En este caso el número sería el 7, porque 7 x 7 es 49. 
• Otra posibilidad sería 6 x 6, pero daría 36 (lo que quedaría más alejado de 58) y 
• 8 x 8, pero daría 64 (lo que excedería a 58). 

Escribimos el número encontrado en la primera línea de la derecha.


Paso #3

El número obtenido (7) es el primer resultado de la raíz cuadrada.

• Multiplicamos este número por sí mismo. 
• El resultado (49) se escribe debajo del primer grupo de cifras de la izquierda (58), y se resta. El resultado de la resta (58-49) es 9.
• Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras bajadas (es decir, 936).

Para continuar la extracción de la raíz cuadrada multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de éste, en el siguiente renglón auxiliar (en la imagen, el 14 está escrito justo debajo del 7, ya que 7 x 2 es 14).


Paso #4


En este paso hay que encontrar un número n que, añadido a 14, y multiplicado por ese mismo n, de como resultado un número igual o el más aproximado a 936. 

Es decir, podría ser 141 x 1, 142 x 2, 143 x 3... y así hasta 149 x 9.

• Si multiplicamos 147 x 7 = 1029 vemos que este número sobrepasa a 936, por lo tanto, el 7 no es el número que andamos buscando.
• En nuestro caso, el número buscado es 6, ya que 146 x 6 = 876. Esta operación se añade en el renglón auxiliar.
• El número hallado, 6, se añade en el primer renglón.

Paso #5

El procedimiento es el mismo que anteriormente.

• El resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número procedente de la resta anterior (936) y se restan. 
• Al resultado de la resta (60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). 
• Si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. 
• El nuevo número obtenido es 6036.

Paso #6

Se retoma el procedimiento del paso 3.

• La cifra de la raíz (76) se multiplica por dos (resultando 152). 
• Buscamos un número que añadido a 152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada a 6036. Sería, por tanto, 1521 x 1, 1522 x 2, 1523 x 3, etc. 
• La operación a realizar es, por tanto, 1523 x 3. Colocamos el número 3 en la línea de la raíz.
• El resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la diferencia, que es 1467. 
• Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso.

 Obsérve que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.


 
Paso #7

Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos (ignorando el punto de los decimales) 763 x 2 = 1526.

 

• El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar.
• Se agrega el número 9 en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, ya que 9 x 15269 da como resultado el número que más se aproxima a 146790.
• Se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369.

La raíz cuadrada de 5836.369 es 76.39, con un residuo de 0.9369. Recordemos que el cero es sólo un auxiliar. Es también que la operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado 76.396132101 (con nueve decimales).

Los pasos se pueden resumir en ciclos de cuatro después de separar en grupos de dos cifras y teniendo en cuenta cuando se coloca el punto decimal en la raíz:

1. Hallar una nueva raíz.
2. Realizar la resta correspondiente.
3. Bajar un nuevo par del radicando.
4. Multiplicar raíz actual por dos.